Eine systematische Fehlereingrenzung ist wichtig, um der Sache auf den Grund zu kommen. Also solltest Du immer nur eine Ursache nach der anderen angehen, testen und falls erforderlich zum nächsten Problemchen weitergehen. Wildes Schrauben und Austausch "verdächtiger" Teile bringt nichts. Ich habe hier ein paar Tipps nach der Wahrscheinlichkeit des Auftretens zusammengestellt, die Dir helfen, die Ursachen zu finden. 
  

Elektrisch Starten = nein, Anschieben = ja?
Der Startermotor dreht - eventuell mühsam - und die Suzuki springt dennoch nicht an.  Versuch es zunächst mal mit dem Kickstarter, wenn vorhanden. Ansonsten hilft auch Anschieben. Bei richtig betätigtem Choke (gezogen bei kaltem Motor) und ohne viel Gasgeben sollte sie anspringen. 
Ist das nicht der Fall, ist die Batterie (9) am Ende. Messe dazu die Spannung direkt an der Batterie, wenn der Anlasser betätigt wird. Sinkt sie unter 8 - 9 Volt, kann keine ausreichende Zündspannung aufgebaut werden. 
Prüfe jetzt den Ladezustand der Batterie. Ist er in Ordnung, bleiben nur noch die Starterkohlen (8) als Übeltäter. Hier wird nämlich beim Anlassen so viel Energie vernichtet, dass die Bordspannung zusammenbricht. Typisch für dieses Problem ist, ein guter Zündfunke bei herausgedrehten Kerzen, die aber offensichtlich nass sind. Außerdem kann man beobachten, dass der Motor in dem Moment anspringen will, wenn man gerade den Starterknopf loslässt. 
Unwahrscheinlicher aber möglich: die Kohlen des Anlassers (8) können verschlissen sein. Verschiebe diese Prüfung daher besser an das Ende.

Kein Benzin?
Natürlich hast Du nicht vergessen zu tanken, oder?  So dämlich kann keine(r) sein, sagst Du? Nun, es soll schon vorgekommen sein. Viele von uns haben etliche Meter geschoben, um dann festzustellen, dass der Tank (4) trocken war. Aber erzählen würde das natürlich niemand - ist einfach zu peinlich. Genauso wie die Kleinigkeit, statt auf "RES" auf "OFF" gestellt zu haben.
Schwappt im Tank das Benzin bleibt natürlich die Frage, ob der Motor an Benzinmangel oder -überfluss leidet. Startet er schlecht, läuft er mit Aussetzern, hat er ein zu dunkles Kerzenbild, werden schwarze Qualmwolken aus dem Auspuff gestoßen oder  verbreitet sich gar Benzingeruch, ist die Spritzufuhr wahrscheinlich zu reichlich. Dazu kannst Du hier mehr erfahren.
Wenn der Benzinzufuhr unterbrochen ist, fließt kein Benzin in den Vergaser. Ein Indiz hierfür sind trockene, helle Zündkerzen.
Zur Prüfung stelle ein flaches Gefäß aus Metall oder Keramik unter die Vergaser und öffne die Ablassschrauben an deren Unterseite. Normal läuft pro Vergaser ca. 50 ml Benzin heraus. Wenn das Innere der Dichtschrauben stark mit losem Dreck verschmutzt ist, sind die Vergaser verstopft und müssen gereinigt werden.
Ist der Unterdruckschlauch des Benzinhahns lose oder defekt, wird der Hahn nicht geöffnet und Spritmangel ist ebenfalls vorprogrammiert.
Es kann aber auch am Benzinhahn (5) liegen oder das Sieb im Tank verstopft sein. Dazu das Moped  auf die linke Seite zu neigen und den Benzinhahn auf "PRI" zu stellen. Achtung: Vor dem Losfahren den Benzinhahn wieder auf "ON" stellen!
Um den Benzinhahn zu testen, stelle den Hahn nacheinander in die "PRI"- und "RES"-Stellung. Es muss Benzin kommen, wenn man gleichzeitig am Unterdruckschlauch des Benzinhahnes saugt. Falls nicht, ist entweder kein Sprit im Tank, oder die Siebe des Benzinhahns sind verstopft.

Kein Zündfunke?
Sehr wahrscheinlich sind Schwierigkeiten mit der Zündung. Dazu schraubst Du zunächst die Kerzen (6) heraus, steckst sie in die Stecker und legst Sie mit dem Gewinde auf den Zylinderkopf. Springt beim Anlassen ein kräftiger blauer Funke an den Elektroden über, kannst Du beruhigt sein. Ist der Funke gelblich und sehr fein, sind entweder die Zündkerzen, die Kerzenstecker , das Zündkabel (7) oder die Zündspulen defekt. 
Überprüfe zunächst den Elektrodenabstand der Zündkerzen (max. 0,7 mm) oder tausche sie aus, wenn sie verschlissen sind. Näheres sagt Dir das Zündkerzenbild.

Unterbrecher korrodiert, verbrannt oder verstellt?
Natürlich prüfst Du als nächstes die Zündkontakte, die sich unter dem rechten kleinen Motordeckel verstecken - falls Deine Suzi noch welche besitzt. Sie dürfen nicht abgenutzt und müssen richtig eingestellt sein. Beobachtest Du hier viele Funken im Betrieb, ist wahrscheinlich der Kondensator hinüber. Die Unterbrecher müssen beim Durchdrehen der Kurbelwelle sichtbar auf und zu gehen. Der maximale Abstand beträgt ca. 0,4 mm (Zeigerfingernageldicke).
Beim Kratzen an beiden offenstehenden Unterbrecherkontakten und gleichzeitig eingeschalteter Zündung sowie eingeschaltetem Killschalter sollten Funken überspringen.
Noch ein Tipp: Es muss stets ein Funke an der Zündkerze springen, wenn der entsprechende Kolben oben steht. Falls nicht, sind möglicherweise die Unterbrecherkabel vertauscht.

Kein Durchkommen zwischen Zündspule und -kerzen?
Als Nächstes sind die Kerzenstecker dran. Dort dürfen keine Funken überspringen, die Kabel müssen fest sitzen und dürfen nicht brüchig sein: Bekommst Du übrigens beim Testen mit herausgeschraubter Zündkerze einen Schlag, ist der Zündkerzenstecker sicher defekt. Tut richtig weh, aber wenigstens hast Du das Problem gefunden!
Jetzt kommen die Zündspulen und -kabel dran. Zur Prüfung ziehe den Zündkerzenstecker von der Kerze ab, schraube das Zündkabel aus dem Stecker und klemme es zwischen zwei Kühlrippen, so dass der Abstand von der metallischen Seele bis zur Rippe ca. 3mm beträgt. Beim anschließenden Startversuch muss hier ein Funke springen. Falls der ausbleibt, prüfe, ob die Zündkabel gebrochen oder durchgescheuert sind und so Massekontakt haben. 
Schließlich bleiben nur die Zündspulen. Sie müssen einen guten Massekontakt zum Rahmen haben. Um die Spulen zu testen, musst Du sie nach einem Service-Handbuch durchmessen.

Kontaktprobleme an Schaltern, Leitungen und Steckern?
Ein fieses Problem ist ein defekter Zündschalter (1). Rüttle bei laufendem Motor und angeschaltetem Licht am Zündschlüssel. Flackert das Licht und/oder hat der Motor Aussetzer, hast Du den Fehler gefunden.
Falls nicht drehe am Lenker, taucht jetzt das Problem auf, hast Du im Bereich des Lenkkopfs einen Kabelbruch.
Ähnlich schwierig zu finden, ist ein defekter "Kill"-Schalter (2). Das ist der mit der Aufschrift "Run" und "Off" und er neigt zu Korrosion. Um ihn wieder zu beleben, musst Du die Armatur auseinander nehmen, die Kontakte des Schalters reinigen und mit Schmirgelleinen blank machen.
Hast Du Dich bis hierhin vorgekämpft, prüfe auch noch, ob das Massekabel zwischen Motor und Batterie defekt oder korrodiert ist. Danach wühle Dich durch den ganzen Kabelsalat und check, ob die Kabel, Stecker oder Verschraubungen im Zündkreis lose, korrodiert, gequetscht, kurzgeschlossen sind. Ziehe auch hier und da am Kabelbaum, denn eine schlechte Verbindung kann sich überall befinden.

Vergaser verschmutzt oder verstellt?
Dass sich Vergaser (10) verstellen, passiert seltener, als man annimmt. Wahrscheinlicher sind durch Rost- und Schmutzpartikel verstopfte Düsen. Auch dass sich Düsen lockern oder Nadeldüsen abbrechen, kann vorkommen. Dann ist eine Vergaserrevision angesagt. Bei der Gelegenheit solltest Du auch mal schauen, ob die Ansaugwege dicht sind und der Motor keine Nebenluft zieht. Sind die Ansaugflansche (11) porös oder die Schellen lose? Natürlich solltest Du auch einen Blick auf den Luftfilter (12) werfen. Ist er übermäßig verschmutzt?
Lese hier mehr über die Prüfung und Einstellung von Vergasern.

Zu wenig Ventilspiel?
Beim Durchkicken der Maschine sollte man 2 Kompressionstakte und den dazwischenliegenden Rastpunkt fühlen können. Wer keinen guten alten Kickstarter mehr hat, kann dies auch durch Einlegen des dritten Ganges und Drehen am Hinterrad prüfen. Ist die Kompression schlecht, musst Du das Ventilspiel einstellen. Das Gemeine an diesem Problem: Maschinen mit zuwenig Ventilspiel springen häufig dennoch an, sofern die anderen Faktoren stimmen.

Alles richtig eingestellt und in Ordnung?
Stimmen Ventilspiel, Zündzeitpunkt, Zündkerzen-Elektrodenabstand und die Vergasereinstellung? Jetzt könnte der Kickstarter oder die Kupplung der Übeltäter sein.
Der Kickstarter muss beim Runtertreten wechselnden Widerstand bieten und beim Hochkommen hörbar ratschen. 
Um zu prüfen, ob die Kupplung rutscht, öffne die Öleinfüllschraube und schaue in das Loch hinein. Das große Aluminiumteil mit den Schlitzen ist die Außenseite der Kupplung.
Wenn Du den Kickstarter trittst und sich das Aluteil nicht mitdreht, rutscht die Kupplung. Vielleicht hilft es, das Spiel des Kupplungszuges an der Einstellmutter des Kupplungsgriffes zu vergrößern. Bestimmt hilft es, den Kupplungszug zu schmieren und die Kupplung zu überholen.
Jetzt wird es wahrscheinlich sehr teuer: Bist Du sicher, dass Dein wackerer Suzuki-Motor noch im Vollbesitz seiner Kräfte ist, also kein übermäßiger Verschleiß an Kolben und Zylindern, Ventilen und Ventilführungen zu beklagen ist? All diese Probleme äußern sich auch in schlechtem Leerlauf, Leistungsverlust und blauem Qualm aus dem Auspuff. Im schlimmsten Fall hast Du aber einen Kolbenfresser oder ein Loch im Kolben. Ein gutes Mittel für eine Diagnose, ist das Zündkerzenbild.